混沌控制:用非线性动力学进行反馈控制

但是随着20世纪70年代中期廉价计算机的出现，使以前无法触及的问题变得有意义，从而对非线性动力学和混沌产生了新的理解，并且现在正在出现应用。其中一个最有前途的应用是动态反馈控制系统，其中非线性引起不规则运动，即混沌。与标准的线性反馈控制相比，非线性动态反馈控制具有许多优点。最大的优点是:数据就是模型，不需要知道描述系统的运动方程。

在正常运行条件下，可以从系统的时间序列数据中提取生成控制所需的所有信息。更值得注意的是，来自一个系统变量的数据足以构建模型。当然，我们可以利用已知方程的信息或来自几个独立变量的数据，这可能非常有帮助，但不是必需的。

第二个优点是，非线性控制是通过在动态选择的时间施加小扰动来实现的。由于可以使用现有设备进行控制，因此没有必要对工厂进行改造。此外，控制具有鲁棒性，控制参数的10%到20%的误差仍然可以提供良好的控制，模型不必是完美的。动态控制可以对正常的系统漂移进行自适应和调整，而无需重做整个控制模型。

最后，从同一组数据中推导出多种控制策略是可能的，因为混沌动力学的底层结构是可行的。

动态反馈是如何工作的
为了理解动态反馈控制是如何工作的，我们需要理解两件事。首先，我们需要了解混沌运动的起源及其对任何控制方案的影响。其次，我们需要了解它的基本结构，以及如何使用它来控制看似不规则的非周期行为。

混沌表现为永不重复的不规则运动。但即使运动是非周期的，它也绝对不是随机噪声。它是描述物理系统的运动方程中非线性的确定性结果。

混沌系统的典型例子是天气。我们都知道，除了剧烈的季节变化，天气是不可预测的。

但这是真的吗?

晚间新闻里的当地天气预报通常是未来两三天的好天气，但提前一周的天气预报就不可靠了。这里发生的事情是由于所有混沌动力学的一个标志:对初始条件的极端敏感性。天气预报员有一个模型，他每天更新这个模型，包括当天的温度、压力、急流的位置和各种其他变量。预报工作了几天，然后开始与实际天气有所不同。这是因为他在模型中输入的数据中的小误差会被模型中的非线性放大，事实上，它们会随着时间呈指数级放大，从而导致糟糕的长期预测。即使他的天气模型是完美的，误差也会呈指数级放大

作为第二个更简单的例子，我在我的实验室里做了一个由电动机驱动的简单的双摆。如果驱动电机的电流是一个固定频率和振幅的正弦波，那么钟摆就会剧烈摆动，似乎永远不会做同样的事情两次。它甚至可以完成360度的顺时针和逆时针旋转。

假设摆一次从完全垂直开始，第二次从垂直开始一度。两种不同的初始条件产生的运动在最初的10秒或20秒内几乎相同，但逐渐变得不同，直到一两分钟后，运动完全不同，可能在一种情况下从右向左摆动，而在另一种情况下做360度逆时针旋转。这是对初始条件敏感依赖的另一个例子，说明了两点:

1. 如果我能准确地知道钟摆现在的位置，我就能预测它在未来很短的一段时间内会做什么。这使得控制成为可能，因为如果我给它一个小的扰动，系统将可靠地运行。

2. 现在，如果我等待太久，一个小小的踢腿就会产生一个巨大的、不可预测的变化。因此，我将不得不继续在适当的时间和“地点”进行小的控制扰动以保持控制。

在继续描述构成控制的第二部分之前，我不得不离题一下动力学系统是如何建模的。它们通常在相空间中建模，有时也被称为状态空间。

考虑一个简单的钟摆，它可以用两个变量来描述，它与垂直线的夹角和它的旋转速度。通常人们会画出角度或速度与时间的关系。画出角度和速度的关系而不考虑时间会更有用。

首先，我们记录在一系列时间点上的角度和速度，得到一组角速度对。然后，我们会用，比如说，角度在横轴上，速度在纵轴上画出这些对。

如果单摆碰巧像落地钟那样前后摆动，那么角速度对就会画出一个圆。如果祖辈时钟逐渐停止运转，这对星将绘制出一个在原点停止的衰减螺旋。

双钟摆:自然混乱
在双摆的情况下，有四个变量:与电动机相连的内臂的角度和速度，以及与内臂末端旋转的外臂的角度和速度。(当然，这四个变量不能在一张纸上相互对应，但在计算机内存中做等效的事情很容易。)在这个四维相空间中，双摆的混沌运动是一个非常复杂的曲线。

我们可以对天气模型做同样的事情，使用温度、压力和许多其他需要的变量作为变量。结果会是一个在高维相空间中的轨迹。非线性系统的一个重要特征是我们可以在不测量甚至不知道系统中所有变量的情况下构建这些相空间轨迹。我们可以通过组合不同时间的测量值，从单个变量构造一个“延迟向量”。例如，对于双摆来说，相位空间中的一个点不是用两个角度和两个速度来描述的，而是可以使用一个矢量，这个矢量是由现在、5秒、10秒和15秒前测量的内臂的速度构造的。由间隔5秒的4个点组成的一组这样的向量可以用来对系统相空间进行建模。

有一个深奥的数学定理证明，用这种方法生成的相空间模型与使用所有变量生成的相空间模型完全等价。通过计算自相关函数或称为互信息的量，可以以一种直接的方式计算样本之间的时间。如果我们不能通过物理推理提前知道需要多少元素来组成一个延迟向量，这个数字也可以通过计算混沌时间序列的分形维数来评估。

研究这些曲线，我们注意到只有一个有限的相空间区域被占用。每个变量都有物理界限:例如，钟摆的速度受到来自马达的能量输入的限制;北美的气温在-25华氏度到110华氏度之间;等等......另一个事实是，无论混沌轨迹变得多么复杂，它永远不会与自己相交。这是因为这些系统是确定性的，而不是随机的。

完全重复一个初始条件总是会得到完全相同的结果。(不可预测性来自于我们对变量当前值的不完全了解。)结果是，混沌轨迹是一条缠绕的曲线，它以非常复杂的方式在自身上折叠，但它位于相空间的有界区域中。事实上，从这个结构上切下一片，然后“从头到尾”地看，就会发现它是一个分形。

但事实证明，这种结构还有一个更有趣的特性——它是由无数个周期轨道组成的。如果我们找到合适的初始条件，并且不干扰系统，就有可能使它不断重复。(这些轨道是相空间中的闭环。)因此，对于正确的角度和速度的初始值，双摆将表现得像一个落地钟，即使它通常以不可预测的方式摆动和旋转。

为什么我们看到的不是周期性轨道而是混沌?因为它们是不稳定的，不稳定的方式就像放在马鞍上的大理石不稳定一样。稳定方向是鞍座上的前后方向，使弹珠滚向中间;不稳定方向是侧对侧方向，使弹珠滚离两侧。

控制混乱
这立即提示了如何生成控制。把马鞍移到大理石下面，使它靠在前后的线上。当它开始滚向一边时，再次移动鞍座，将弹珠重新定位在前后线上。显然，这是一个永无止境的过程，因为它永远不可能把弹珠准确地放在马鞍上最稳定的点上，即使是最轻微的噪音也会使弹珠再次向不稳定的方向滚动。我们多久做一次修正是由马鞍的形状决定的。如果鞍座又宽又平，弹珠就会非常缓慢地滚离稳定线，只需要偶尔的修正;如果鞍座又陡又窄，弹珠就会非常迅速地滚离稳定线，造成许多快速的扰动。

正如我上面提到的，有无数不稳定的周期轨道。这提供了为特定目的量身定制控制方案的能力，甚至可以在不改变工厂运行参数的情况下在几个不同的方案之间随意切换。所需要做的就是选择合适的控制脉冲的大小和时间，以稳定特定的轨道。当然，在实践中，只有少量的轨道可以被发现并且是可用的，但它们仍然为动态反馈控制引入了一定程度的灵活性，这是标准线性反馈控制所不能提供的。

混沌控制
在过去的十年中，混沌控制已经在许多不同领域的实验室中得到了成功的证明。它现在正进入工业世界。摩托罗拉正在将这项技术添加到未来几年将出现的产品中。其他几家《财富》100强公司也在积极地将这种科学融入到他们的工艺技术中。目前正在研究的生物应用包括智能起搏器、癫痫控制和帕金森等疾病的震颤控制。

美国海军正在应用动态反馈控制来减少直升机振动。即使在风平浪静的海域，船上的起重机也几乎毫无用处。海军正试图通过给起重机增加动力控制来扩大他们装卸货物的范围。

在未来的十年里，我们将看到这项技术的广泛应用，而不仅仅局限于工程师的想象力。最明显的应用是在造纸厂、轧钢厂、汽车发动机和发电机等地方的旋转机械上。其他可能性包括广泛用于燃烧和化学催化的石化工厂和流化床。即使不需要控制，也可以使用这些技术以新的方式对机器和工厂性能进行建模和监控，从而降低维护成本并延长设备使用寿命。