频域控制回路行为分析

关键字 过程和高级控制 控制理论 过程控制系统 过程控制理论 教程

的频域是一种简化控制系统性能分析的数学结构。它可用于显示在反馈控制器影响下运行的流程将如何对来自控制器的输入或流程行为的变化作出反应。

频域分析基于两个基本原则。首先是线性,它指出，应用于线性过程的两个信号的和将产生的输出等于分别应用两个输入所产生的输出的和。由此可见，线性过程将产生一个Y过程变量(过程输出)的%变化X控制动作(工艺输入)的%变化按直线关系Y = kx．的稳态增益K无论进程当前运行在最大容量、最小容量还是两者之间的某个位置，都将保持不变。

如果控制器的输入不是简单的阶跃变化，那么线性过程的行为就会有所不同X%。如果控制动作继续正弦振荡，使得过程变量永远没有机会达到稳定状态，则过程的表观增益通常会小于K．也就是说，正弦波的振幅会小于K乘以进来的正弦波的振幅。

一个例子

表观过程增益K (u）将取决于频率u输入的正弦波。较高频率的正弦波通常比较低频率的正弦波衰减得更严重，因此较高频率的增益较低。这种现象可以用一个普通的儿童玩具来证明，这个玩具是由一个垂直弹簧挂在一个手柄上的重物组成的。如果孩子以近似正弦的方式升降手柄，重量最终将开始以与手柄相同的速率振荡。然而，随着孩子将手柄抽得越来越快，重量的振荡幅度将会减小，直到重量完全不再移动。

这个过程包括一个手柄，一个弹簧和一个重量。握着手柄的子手柄充当控制器。过程输出是通过孩子的观察测量出的重量的垂直位置。通过移动手柄，孩子可以输入一个控制动作来改变重物的位置。

随着频率的增加，重量的振荡也会滞后于手柄的振荡，而且滞后的幅度越来越大。这是所有线性过程所共有的另一个现象。的阶段输出滞后于输入相位的量通常随频率增加而增加。然而，请注意，当传入的正弦波通过这个过程时，它的频率保持不变。不管孩子抽把手的速度多快或多慢，重物总是以相同的速度振荡，只是振幅和相位不同。

另一方面，每次相同频率的正弦波通过这个过程时，振幅和相位的变化都是相同的。因此，振幅和相位变化可以与频率绘制，以产生两个固定的曲线，这是过程的特征。这些曲线构成了整个过程的曲线波德图这个图形分析工具是由贝尔实验室的亨德里克·博德(Hendrick Bode，与“roadie”谐音)在20世纪40年代开发的。波德图可以通过在不同频率上使用正弦控制动作或通过分析过程的物理特性来经验地推导出来。

傅里叶定理

当然，大多数现实生活中的过程并不是通过严格的正弦输入来控制的。然而，频域分析的第二个基本原理——傅里叶定理-州任何信号(包括非振荡控制动作)可以表示为正弦波的和。数学家约瑟夫·傅里叶在1822年证明了他著名的定理，并提出了一种算法傅里叶变换用于从原始信号的测量中计算该和中每个正弦信号的频率、幅度和相位。

从理论上讲，傅里叶变换和波德图可以一起用于预测线性过程将如何对所提议的控制动作序列作出反应。方法如下:

• 步骤1-使用傅里叶变换从数学上把提议的控制动作分解成它的理论正弦波分量或频谱．

• 步骤2:使用波德图来确定如果这些正弦波实际上经过了这个过程，它们是如何被修改的。也就是说，应用由每个正弦波的频率决定的适当的振幅和相位变化。

• 步骤3-使用傅里叶反变换将修改后的正弦波重新组合成单个信号。

由于傅里叶反变换本质上是一个加法运算，该过程的线性将保证在第一步中计算的理论正弦波的组合效应将是相同的，如果它们仍然是总和在一起。因此，在步骤3中计算的组合信号将表示建议的控制动作实际输入到过程中所产生的过程变量。

波德图显示了正弦波的频率v弧度/秒通过线性过程将改变其振幅(或幅度)的因素K(v)分贝和损失相位由F(v)度。K(v)而且v一般用对数刻度表示。不同过程的波德图形状不同，但是K(v)总是接近稳态增益K作为v趋于0。对于非常高的频率，K (v)趋向于零。在两者之间的某个点，即截止频率，幅值图下降到稳态增益的70.7%。低于这一点的频率位于过程的通带内。通频带或带宽越大，可以通过的衰减小于70.7%的正弦波越多。带宽是衡量通信进程以同时正弦信号的形式传输数据的能力的常用指标。

请注意，在这个过程中，控制器没有实际生成任何单独的正弦波，甚至也没有在纸上绘制。所有这些频域分析技术都是严格的概念。翻译信号仅仅是数学上的方便问题时间域到频域与傅里叶变换(或密切相关的拉普拉斯变换)，利用波德图和其他频域分析工具解决手头的问题，然后将结果转换回时域。

大多数可以用这种方式解决的控制设计问题也可以在时域内通过直接操作来解决，但在频域的计算通常要容易得多。在上面的例子中，给出所提议的控制动作的傅里叶变换和过程的波德图，计算过程变量的频谱只是一个乘法和减法的问题。

更多博德图

不幸的是，这样的计算便利是要付出代价的。要想在时域中解决原来的问题需要在频域中解决什么数学问题并不总是那么容易。

稳定性分析就是一个很好的例子。具有频域分析经验的控制工程师可以查看一个进程的波德图，并从它的形状中推断出一个控制器可以在不使闭环系统不稳定的情况下承担多大的风险。一旦设计了控制器并将其应用到过程中，控制器和串联运行的过程的联合博德图显示了如果过程的行为突然改变，闭环系统是否会变得更稳定或更不稳定(以及稳定的程度)。这些问题都与增益裕度而且阶段保证金但是这些概念的含义以及如何从波德图中解读它们需要相当广泛的控制理论背景。

另一方面，共振分析很简单。例如，考虑前面显示的示例波德图。星等图显示了一个明显的峰值固有频率．具有这种波德图的过程将放大而不是衰减以该特定频率振荡的入射正弦波。任何能够储存能量的过程都会表现出这种被称为共振．如果谐振峰足够高，当频率恰好合适的正弦波驱动时，这个过程实际上可以自我毁灭。这就是为什么士兵在过桥时要放慢脚步。如果他们行进节奏的频率恰好与桥的固有频率相匹配，它可能会被迫振荡到崩溃的地步。

这个波德图样本也可以代表弹簧玩具。它的固有频率取决于物体的质量，弹簧常数，以及弹簧摩擦力。以这个特定的频率抽动手柄会导致重量剧烈反弹(这正是这种玩具的意义所在)。

串联加工操作

频域分析还提供了一个简单的解决方案，以解决多个进程在串联时如何表现的问题。例如，考虑一个组合过程，其中第二个弹簧玩具的手柄被挂在第一个弹簧玩具的重量上。流程输出一个(重量的位置一个)现在是process的输入B(手柄的位置B）.

进程A的输出是进程B的输入。

因此，频率的正弦输入u应用于工艺一个会产生一个正弦输入来处理吗B频率相同的。过程一个会使正弦波衰减1倍吗K一个（u）和过程B会使它进一步减弱一倍吗KB（u)，的总衰减K一个（u）次KB（u）.两个过程引入的总相位滞后是相加的;即。O一个（u）+OB（u）.因此，整个系统的波德图将简单地是两个过程的幅度图的乘积和两个过程的相位图的和。此外，由于震级图通常是在对数刻度上绘制的，因此只需将两个单独的震级图逐点加在一起，就可以用图形方式推导出总体震级图。

这可能是一个特别强大的分析工具，特别是在试图确定与控制器串联操作的流程的整体行为时。将控制器的波德图与进程的波德图相加，得到组合系统的波德图。结合波德图的形状反过来揭示了很多关于闭环系统的行为。

不幸的是，如果过程或控制器不是真正线性的，整个技术就会失效。控制器通常可以被设计成线性行为(而且几乎总是如此)，但是在尝试频域分析之前，必须非常小心地确定过程的线性。

更多阅读请参见www.globalelove.com/tutorials。

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