数字滤波基础

栏: 运行平均 加权平均 遗忘因子

对于咖啡饮用者和汽车修理工来说，“过滤”从有价值的材料中提取出不需要的污染物。另一方面，控制工程师使用数字滤波器从测量噪声和其他无关信息中提取有价值的数据流(参见“过滤反馈”图表)。

“运行平均值”边栏显示了最基本的数值过滤器a运行或移动平均线-可以从一系列最近的过程变量测量中提取平均值。当测量设备容易出现不可预测的波动(通常称为噪声)时，平均是确定过程变量真值的特别有效的方法。测量噪音对所有工业仪器都有一定程度的影响。环境条件(特别是温度)的变化或来自附近电源的干扰都可能导致未经过滤的仪器报告失真的读数。有时测量技术本身并不完全准确，导致未经过滤的测量偏离过程变量的真值。

如果偏差是短暂的、随机的，并且在正负值之间平均分布，那么噪声将不会对最近测量的平均值产生净影响，因此过滤后的仪器报告的读数将是准确的。即使噪声不是严格随机的，有一个非零或的意思是在美国，平均滤波器可以通过检测平均值并从仪器读数中减去它来进行补偿。

替代方法

从噪声数据中提取精确测量数据的能力使得数字滤波成为几乎所有工业仪器的必备条件。然而，大多数都使用了比简单的运行平均值更复杂和有效的过滤技术。

例如,一个加权平均在计算仪器读数时，如“加权平均”边栏所示，较旧的测量值打折扣，而采用较新的测量值。与运行平均值不同，该技术可以识别过程变量随时间的变化，因此最近的测量可能比旧的测量更准确地描述当前过程变量。

的遗忘因子技术是类似的，但计算效率更高。它也对最近的测量值给予了更大的权重，但与移动平均值或加权平均值相比，它需要更少的计算和更少的内存。参见侧边栏“遗忘因素”。

在控制回路的反馈路径中插入一个数字滤波器，可以减少干扰过程变量测量的噪声。反馈路径上的噪音越小，控制效果越好。

没有计算机的过滤

遗忘因素技术还具有简单的机械或电子设备易于实现的优点，不需要计算机。

例如，考虑从一个不稳定的、易受随机涌浪影响的水源中提取平滑水流的问题。闭环流量控制器可以安装一个阀门和流量计，以抵消上游流量的波动，但同样的效果也可以通过简单地让水流通过槽来实现，如“机械过滤”图所示。

如果水箱足够大，内部的水位将最终稳定在一个点，即流出流量等于平均流入流量。不稳定流入的波动将随着时间的推移由储罐的储存能力来平均。两个流量之间的数学关系(如图所示)将具有与遗忘因子过滤器完全相同的形式，尽管λ通常被描述为a时间常数当这种滤波器是用物理方法而不是严格的数值方法实现时。

挑战

这个示例还演示了使用过滤器消除数据流(在本例中是文字流)中的噪声的主要缺点之一。过滤减慢了测量过程。

想象一下，上游某个地方的供应被切断了。直到水箱排干，流出流仍在继续，但不表明流入流率已降至零。一个大的水箱需要更长的时间来排水，延长了流出和流入的差距。换句话说，储罐需要很长时间才能“忘记”原来的流量，所以它的遗忘因子/时间常数会特别大。大型储罐的储存能力可以在较长一段时间内平均入流率的波动，最大限度地减少任何个别波动的影响。更好的平均也是具有大时间常数的数值滤波器的特点。

采用这种机械过滤技术的工艺设计人员会根据他们的目标来调整水箱的尺寸。一个更大的油箱，一个更大的时间常数，将产生更好的平均，但一个更小的油箱，一个更小的时间常数，将产生更好的响应。

同样的设计权衡也会影响严格的数值滤波器，特别是那些反馈控制回路。带有长时间常数的滤波器在消除测量噪声方面做得更好，但它平均了过程变量随时间的实际变化，因此控制器需要更长的时间才能看到之前的控制效果。如果控制器没有耐心，它可能会应用比必要的更多的修正，就像过程本身由于过度的死区时间而响应缓慢一样。(参见“处理死亡时间”，控制工程2005年7月)。

先进的过滤

这些简单的平均值只是最基本的过滤技术。n阶滤波器有N为提高性能而忽略因素或时间常数。高通过滤器保留数据流的高频成分而不是低频成分。带通滤波器舍弃最高和最低频率的分量，而保留中频分量。乐队停止过滤器执行相反的功能。

这些方法各有利弊，都需要进行复杂的数学分析。幸运的是,信号理论——研究数据流和过滤它们的方法——是控制工程中最成熟的方面之一，因为这些技术早在齐格勒和尼科尔斯调谐他们的第一个回路之前就在电气工程和电信领域得到了发展。

因此，有大量的设计工具和软件包来帮助开发具有所需特性的过滤器。这些工具也可以用来设计整个控制回路，因为反馈控制器本质上是一个过滤器，作用于过程变量和设定值之间的测量误差，以产生具有所需特性的控制努力序列。

作者信息

万斯·范多伦是控制工程．达到他controleng@msn.com．

运行平均

运行时平均滤波器的输出(k + 1)Δt是否最后n+1个输入的平均采样间隔为Δt秒:

F出(k + 1) =

F在(k) + F在(k - 1) +在(k - n) n + 1

为了测量反馈控制回路的目的，滤波器的输入将是n + 1最新的过程变量测量，输出将是由仪器报告的过滤读数。注意，输出也可以计算递归地根据

F出(k + 1) = F出(k) +

F在(k) - F在(k-n-1) n + 1

这种替代方法涉及更少的计算，但仍然需要存储所有最后的计算n + 1输入到过滤器内存中的某个地方，以便F_在(k-n-1)需要时可召回。

加权平均

加权平均过滤器的输出更多地依赖于较近期的输入值:

F出(k + 1) =

F在(k) + w在(k - 1) +在(k - n) 1 + w +

的权重因子w可以指定一个介于0和1之间的值，以量化新旧输入的相对重要性。如果w=0时，旧的输入完全贴现。如果w=1时，所有输入都被赋予相同的权重，就像一个运行平均值。和运行平均值一样，加权平均滤波器的输出可以用递归公式更有效地计算:

F出(k + 1) = w出(k) +

F在(k) - wn在(k-n-1) 1 + w +

遗忘因子

带有遗忘因子λ的滤波器在0和1之间给最近的输入赋予更多的权重，就像加权平均滤波器:

F_出(k + 1) =(1 -λ)·F_在k +λ·(1 - λ)·F_在(k - 1) +λ_在(k-2) +

然而，这种技术包含所有过去的输入输入过滤器的输出，而不仅仅是最后的n + 1．输入测量是mΔt以λ为折扣率0，旧的输入会立即被遗忘。如果λ接近1，旧的输入被遗忘的速度相对较慢。请注意，遗忘因子公式的递归版本是所有平均滤波器中计算效率最高的:

F_出(k + 1) =λ·F_出(k) + (1-λ)·F_在(k)

此时只需要存储当前输入和当前输出kΔt随时使用(k + 1)Δt．

反馈

感谢你的另一篇发人深省的教程文章。考虑到一阶滞后滤波器方程直接从Tustin的双线性变换导出到熟悉的“1/(s+a)”单极低通滤波器，我有点惊讶，你没有与一般的线性滤波建立更强的联系。二阶低通滤波器有时是一种有用的替代方法。另外，您也没有提到常见的数学术语“指数加权”，这是从最近《控制工程》中讨论的卷积滤波器的研究中派生出来的。

如果关键插图“过滤反馈”显示了可信的过滤信号，就像你在“挑战”部分的讨论中看到的那样，这将是有帮助的。滤波将减少噪声，但带宽的减少将有副作用，使瞬态形状“圆角”。我估计如图所示的高频噪声减少因子约为6或7。对于运行平均滤波器:在“中心极限定理”的指导下，运行平均块长度必须在40项左右，才能产生如此多的高频减少。一个40项的平均值给你一个典型的数据块中心的统计估计，20个样本过去。图中显示了高频衰减，但没有20个样本组延迟和瞬态形状圆角。

滤波危害与频率响应有重要关系，但没有提到。40项平均值的振幅滚动包络线大致为-1/F，截止频率约为奈奎斯特频率的1/20。如果你在做PID控制，“D”项有一个比例- f振幅增益…这意味着超过1/20的奈奎斯特频率的滤波几乎抵消了“D”项的好处。

一个20采样时间延迟在采样的奈奎斯特频率的1/20处引入一个180度的相移。由于奈奎斯特稳定性准则依赖于相移为180度时的环路增益，而在较低频率时，植物增益往往要高得多，因此留给反馈环路使用的增益更少。收益越低，监管绩效越差。你提到了齐格勒-尼科尔斯调谐规则:比较该规则的建议如何在植物模型中从1个样本到20个样本时间延迟的变化是有指导意义的!这是一个非常真实的工程权衡:短期噪声方差与长期规则方差。

这与你所说的没有任何矛盾，只是更有力地说明了为什么在反馈循环中过滤是一件非常棘手的事情，应该非常小心地去做。并不是直接的影响，而是过滤的副作用导致了这些问题。与提供过去20个样本的良好统计估计不同，您真正想要的是在去除大部分噪声的情况下，对“现在”正在发生的事情进行良好(如果不完美)估计的过滤器。如果你有了它，过滤游戏就会大不相同。这开启了一个全新的过滤理论蠕虫。这个理论并没有完全发展，直到几十年后齐格勒和尼科尔斯调整了他们的第一个PID环路:最优维纳滤波，观测器理论，卡尔曼滤波。你敢去那里吗?

Larry Trammell - 2008-23-10 14:13:00 CDT
反馈