优化基础

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优化是获得最大价值的艺术，无论是在一双新鞋上找到最好的交易，还是在最大效率的情况下操作催化裂化器。当选择有限且每个选择的成本很清楚时，这可能是一个相对简单的练习，但一些优化问题可能涉及数千个变量，需要复杂的数学分析。

然而，某些步骤对于所有优化问题都是共同的:

• 确定要最小化的成本或要最大化的收益;

• 确定可操作变量或独立的参数最能影响成本或效益的;而且

• 寻找解决方案或最优参数成本最低或收益最高的。

电视信号优化

卫星碟形定位问题的代价函数(1)惩罚了碟形实际仰角e和直接指向卫星的最优仰角e之间的误差。这是一个二次函数，因为定位误差是平方的，当误差在任何一个方向上增加时，产生一个指数级的更大的代价。这个特定的代价函数也恰好有一个独立的参数e，所以它的最优解出现在C(e)的导数为零的地方，如式(2)所示。

当天空中有多颗卫星时，寻找最强信号将局部极小值引入优化问题。这些表现为成本函数C(e)中的“下降”，对应于发射较弱信号的每个卫星的位置。在这个例子中，一个严格从左到右或从右到左搜索的优化例程会在找到总体代价最小的最强信号之前退出。

例如，假设卫星电视信号的强度随着接收碟形天线的旋转越来越偏离卫星而呈指数级下降。的成本函数对于该优化问题，暂假设只有碟面仰角是可调的，以“单变量二次代价函数”为例进行说明。

在不太可能的情况下，卫星位置是已知的，这个问题可以通过旋转碟形天线直接指向卫星来轻松解决，从而将成本函数降低到零。然而，对于更复杂的优化问题，试错法是一种更常见的技术，这要么是因为代价函数不是明确已知的，要么是因为最优参数难以解析计算。

试错技术很有效，只要可以猜测出一组可能的解决方案，并比较每种解决方案的成本。有了卫星天线，任何将天线指向美国南部天空的猜测都是合理的。每一种的成本都可以直接用一个仪表来测量，随着信号强度的增加，仪表的声音就会变大。

如果先前猜测的结果可以用来使未来的估计更准确，那么试错法就更有效。对于指向信号盘的问题，这需要注意之前仪表读数的相对体积，并将天线旋转到产生更大读数的方向，而不是随机指向天线盘，希望找到更强的信号。数学上，这个过程对应于梯度法-本质上是沿着成本函数移动最佳猜测“下坡”，以达到产生最低成本的参数。

并发症

另一方面，检查数百个随机选择的参数，从中找出成本最低的参数也是有用的，因为将参数与相关成本绘制成经验成本函数图。然后，可以从图表中直接读取最优参数。

这蒙特卡罗方法在代价函数恰好有多个时特别有用局部最小值；也就是说，成本函数上的多个点比它们的邻居低，但总体上不是最低的。参见“局部最小值”示例。和梯度法一样，系统试错法倾向于锁定某个局部最小值，而不去其他地方寻找更好的解决方案。对于蒙特卡罗方法或其他考虑所有可能解的优化技术来说，这不是什么大问题。

房子的屋檐防止卫星天线旋转超过最大高度e max。因此，优化算法受到约束，只考虑那些小于e max的参数，如式(3)所示。如果高空飞行的卫星发出特别强的信号，这个问题的解决方案很可能是在约束允许的范围内尽可能接近e的最优高度;也就是e = emax。石化工厂通常从设定在其约束值的参数中获得最佳性能。

这个卫星天线可以旋转到á度的方位角和e度的仰角。二次代价函数(4)惩罚两个方向上的误差。房屋屋檐限制高度不超过e max，房屋侧面限制方位角不超过áamax，如约束(5)和(6)。从数学上讲，这创建了一个三维的碗形成本函数，最优解在底部，最接近的可实现解在近侧某处。

约束也会使优化问题复杂化。这些条件排除了特定的解决方案，即使该解决方案可能会产生最低的总成本。例如，一个位置不佳的卫星碟形天线可能会遇到物理障碍，使其无法直接指向最强的卫星。参见“约束”示例。

多变量的优化

当可以操纵多个参数来降低成本或增加收益时，优化问题就更加棘手了。考虑一个可调节方位和仰角的卫星天线。参见“双变量二次成本函数”示例。

这个问题可以通过独立优化每个参数来轻松解决——将仰角设置为任意值并将盘子旋转到最佳方位角，然后在不改变方位角的情况下将盘子旋转到最佳仰角。一次一次优化在这种情况下有效，因为每个参数对代价函数都有单独的贡献，并且每个参数都是独立于其他参数的约束。

然而，大多数多变量优化问题涉及的约束是多个参数的函数，例如“流量A加流量B的总和不能超过100 gpm”，而不是“流量A不能超过70 gpm”和“流量B不能超过30 gpm”。改变一个参数的值会对其他参数产生限制，因此单个参数不能单独优化。

倾斜的落水管增加了一个额外的约束(10b)，其中常数a、b和c取决于落水管和碟形板的几何形状。另外两个约束条件与前面的例子相同，但成本函数已被线性目标或收益函数B(e， á)所取代。如式(7)所示，它是参数的和，而不是误差平方和。它的结构是最大化信号，而不是最小化差信号的代价。可能的解决方案在斜面上越高，它就越接近于最优。可行区域——由约束定义——是盘子所能假定的所有位置。线性规划问题总是在可行域的一角找到最优参数。在这种情况下，这将是落水管的下角，在那里碟形天线可以尽可能地与卫星直接对齐。

这类问题通常需要线性规划-使用简化的效益函数而不是成本函数来减少可能解决方案的总数。参见“双变量线性规划”示例。线性规划还提供了单纯形法算法搜索最优的解决方案通过操纵所有参数一致，而不是单独。

控制应用程序

其中许多技术都适用于反馈控制器的设计和操作。为了确定最优控制效果，几乎所有控制器都使用某种试错算法，基于设定值和过程变量之间的误差将成本最小化。例如，作为衡量PID控制器如何最小化其成本的指标，它将使用当前误差，过去误差的总和，以及最后两个误差之间的差值。如果误差还不是零，它将使用梯度方法的一些变化来计算最优控制效果的另一个猜测。

最小方差控制器使用二次代价函数，对平方误差随时间积分。除了过去的历史，他们还使用过程模型来猜测未来需要什么样的控制工作来最小化成本。最小方差控制器也可以设计成本函数，惩罚过多的控制努力变化以及偏离设定值。

PID环整定是一个多变量优化问题，有三个参数:

• 比例增益，P;

• 积分增益，I;而且

• 导数增益，D。

手动调优程序一次调整每个参数，以最大限度地提高闭环的性能，测量的指标包括上升时间、稳定时间、超调量等。不幸的是，由于效益函数不是线性的，PID整定不适合线性规划同时进行参数调整。

当多个控制器同时试图实现相互竞争的目标时，线性规划更常用于设定值选择。线性规划可以确定使多变量过程的整体收益最大化的设定值，前提是每个单独的控制器都能成功地迫使其过程变量匹配其指定的设定值。此外，如果所有循环的工作范围都是已知的，则可以对问题进行约束，以保证只给控制器分配可实现的设定值。

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