用卷积分析闭环行为

线性过程的可重复行为允许过程控制器预测其当前努力的未来效果。正如“过程控制器预测未来”(2008年3月)中所描述的，通过进行以下实验，控制器的预测能力可以简化为一个数学公式:

1)通过强迫控制器施加a来刺激开环模式下的过程统一的冲动;也就是说，一个单一的控制努力是一个单位的大小和Δt持续时间为秒。

2)确定工艺的开环脉冲响应通过测量每一个过程变量Δt冲动后的几秒钟。

3)将这些测量结果按时间顺序标注为h (0)，h (1)，h (2)等等，构造一个无限长的“数”。H使用这些值作为“数字”。也就是，让

H = H (0)， H (1)， H(2)，…

4)重新开始，让控制器对过程施加任意的控制顺序。标记这些值u (0)，u (1)，u (2)等，并用它们构造第二个无限长数U:

U = U (0)， U (1)， U(2)，…

5)计算Y = h * u使用卷积，它乘以H和U就像它们是普通的多位数一样。也就是说，使用普通的乘法和加法来计算

Y (0) = u(0)

Y (1) = u(0)

Y (2) = u(0)

以此类推，直到第k个采样间隔时

Y (k) = u(0)

+ u (k - 1)

这个闭环控制系统的行为可以通过构造4个“数字”来预测——S、D、G和H——“数字”分别由设定值、扰动、过程的开环脉冲响应和控制器的开环脉冲响应的采样值组成。由S、D、G和H的任意给定组合产生的过程变量测量序列Y可以由

其中星号(*)表示卷积，两个商表示反卷积。

如果过程确实是线性的，并且没有其他影响过程变量的因素，那么这些计算值应该与控制工作最终产生的实际过程变量测量值相匹配U．

相反，对于开环控制，步骤5中的方程可以求解U这对于生成指定的过程变量测量序列是必要的Y．也就是说，选择所需的值

Y = Y (0)， Y (1)， Y(2)，…

,让

k时的采样间隔

这个操作，被恰当地称为反褶积，本质上是应用于除法的长除法算法Y通过H得到U = y / h．参见“反卷积示例”图形。

闭环分析

在实践中，过程控制器通常使用比开环控制更复杂的算法来计算其控制效果，但卷积和反卷积也可用于分析闭环控制系统的行为。

例如，考虑“分析反馈回路”图形中显示的基本反馈控制系统。每隔一定的时间间隔对过程变量进行采样，并从设定值中减去每个测量值，以生成一系列误差测量值。这些输入到控制器中，控制器依次生成一系列控制努力，以驱动过程变量向设定值移动。

由此产生的过程变量测量Y将等于控制器的努力加上任何不可控的干扰的结果D这可能也会影响整个过程。用卷积算子表示，这个和可以表示为

Y = h * u + d

如果控制器也是一个线性过程(大多数是)，那么

U = g * e

其中G为控制器的脉冲响应，S为设定值序列，

E = s - y

是错误序列。这三种关系可以通过简单的代数结合起来，把卷积当作乘法，把反卷积当作除法。也就是说,

Y = g * h * (s - Y) + d

或

当一个开环脉冲响应为H的过程由一个开环脉冲响应为g的反馈控制器控制时，这个公式预测了由任何给定的设定值S和扰动D的组合所产生的过程变量测量Y。它是控制理论家用来设计控制器和分析其闭环行为的基本数学工具。 例如，数量

被称为设定点和过程变量之间的传递函数，可以用来确定过程变量Y在没有干扰的情况下对任意给定的设定点S序列的反应。也就是，让D = 0如此......以至于...... Y = ts * s

序列T_年代也是闭环系统的脉冲响应。也就是说,T_年代显示了当控制器在线控制过程时，如果用单位脉冲代替设定值，过程变量看起来会是什么样子。

这种现象产生了对反馈控制系统闭环稳定性的检验。如果控制器和开环过程的脉冲响应都是已知的，则它们的卷积积G * H可以用来计算吗T_年代．如果所有的数字T_年代是有限的，那么闭环系统就是稳定的。否则,Y = t_年代*年代会永远增长，不管选择什么值年代，闭环系统将不稳定。见“稳定性测试”图表。

另一方面，如果设定点年代为零，控制器只关心抵消干扰的影响，那么

Y = t_D* D

这里的数量

是扰动序列之间的传递函数吗D过程变量Y．它显示了如果闭环系统受到单个单位脉冲扰动的刺激，过程变量会是什么样子。它也可以从G * H，但它的值通常与T_年代．这就是为什么闭环系统的扰动响应通常不同于它的设定值响应，尽管如果一个是稳定的，另一个也是稳定的。

传递函数T_年代和T_D还可以用来设计控制器吗H是已知的G尚未被选中。例如，如果控制器主要用于跟踪设定值的变化，T_年代可以指定一个合适的值，将产生一些理想的闭环设定值响应。实现特定设定值响应所需的控制器由

设计一个控制器来精确地演示这些脉冲响应序列中的任何一个可能有点棘手，但有一些数学技术统称为变换理论这会有所帮助。第一步是表达G和H分子和分母都是有限长度的分数。例如，无限长开环脉冲响应

H = 16,4,1，

也可以表示为H = A / B与

A = 16

B = 1， -

就像无限长十进制值0.14285一样，…也可以表示为1/7。事实上，反卷积和法除法本质上是相同的算法。参见“反卷积示例”图形。

简化版的H也可以转换成Z变换这可以用于分析闭环系统的行为，而无需执行涉及无限长采样数据序列的任何卷积操作。不幸的是，需要更多的数学专业知识来理解如何以及为什么Z转换工作。

Z转换可以转换成拉普拉斯和傅里叶变换通过减小采样间隔Δt为零。这些变换可用于分析模拟控制系统的行为，其中数据以连续流而不是以规则间隔处理。

作者信息

万斯·范多伦(controleng@msn.com)是…的顾问编辑控制工程。

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