研究人员利用方程来预测推动物体穿过颗粒状、糊状材料的力

麻省理工学院的工程师们现在说，人们可以相信一个非常简单的公式来计算将铁锹——以及其他任何“入侵者”——推过沙子所需的力。研究小组还发现，同样的概念，即阻力理论，可以为粘性材料(如泥浆)生成有用的方程。

研究人员说，除了计算在海滩边开辟护城河所需的体力外，这个方程还可以用来优化车辆在砾石和土壤上行驶的方式，比如漫游车在火星上行驶。它还有助于阐明蜥蜴和蠕虫等动物在地下挖洞的方式。

阻力理论(RFT)并不新鲜，实际上在20世纪50年代就被提出，用来描述物体在粘性流体(如水(小尺度)和蜂蜜)中移动的方式。直到很久以后，科学家们才想到将同样的想法应用于沙子等颗粒物质;他们发现，该理论对物体在颗粒中移动所需的力的预测甚至比对流体的模拟更好。这其中的原因一直是个谜，特别是因为预测颗粒与流体的行为是出了名的困难。

麻省理工学院机械工程副教授肯·卡姆林(Ken Kamrin)说，科学家们认为颗粒状RFT“有点像魔法”，不确定是什么让这个概念如此适用于沙子。

Kamrin和前麻省理工学院博士后Hesam Askari基本上解决了这个谜团。他们报告说，他们已经确定了一个力学解释，为什么这个方程对颗粒材料如此有效。现在，他们说，科学家有理由相信阻力理论，可以通过沙子，甚至像泥浆和凝胶这样的糊状材料，给出准确的力估计。

“人们观察到这个概念是有效的，但不知道为什么，这对科学家来说真的是站不住脚的——这只是一个巧合吗?”Kamrin说。“现在我们可以解释颗粒阻力理论的主干，所以你可以闭上眼睛，相信它会起作用。它给了我们一些短暂的希望，我们可能能够设计出更有效地移动、游泳或在沙滩上行驶的东西。”

入侵问题

粒状RFT的工作原理是这样的:想象一下你正在用一把铲子工作，铲子被埋在沙子的某一深度。你想知道要用多大的力推铲子，才能让它朝特定的方向移动。要回答这个问题，你首先需要用一个小的方形盘子做一些实验，这个盘子的材料和你的铲子是一样的。把盘子推过沙子，从所有可能的方向开始，向所有可能的方向移动。在每次测试中，测量移动平板所需要的力的大小。

根据这个理论，你可以把铲子想象成一个类似的小盘子的组合。要估计移动铁锹所需的力，只需简单地想象每个板都是独立的，并将每个板在沿着铁锹的每个特定位置和方向上的所有微小的单独力相加。事实证明，这一理论对颗粒状材料非常适用，对流体也有些适用。

卡姆林说:“如果某样东西运行良好，最好能知道原因。”“如果你知道为什么入侵问题在沙子中如此容易解决，你可能会解决一大堆问题。”

一推一推

卡姆林开始写他能想到的最简单的表示颗粒流的方程，看看这个方程和它所定义的力学关系，是否也能再现阻力理论中假设的简化图像。如果是这样，他推断，这个方程——也被称为连续统模型——可以从力学上解释为什么RFT起作用，而且进一步验证了这个理论。

他提出的方程是基于库仑屈服准则的标准模型的一个变体，库仑屈服准则是一个决定颗粒物质是否流动的简单准则。想象你双手捏着一堆沙子。库仑方程指出，为了使一只手在另一只手上滑动，剪切力——类似于你滑动手的力除以周围的压力——必须等于一种叫做摩擦系数的东西——把沙子挤在一起。如果这个比例达到了摩擦系数(由沙子的性质决定)，你的手就会移动。

Kamrin在等式中又增加了一个因素:分离规则，以解释沙子一般不会粘在一起的事实。例如，如果你在沙子中移动铲子，它会在铲子后面创造一个临时的洞，这个洞会立即被落下的沙子填满——Kamrin说，这是一个很重要的现实现象，可以准确地反映沙子的流动，特别是在“入侵”场景中，比如在沙子中推铲子。

Kamrin和Askari将他们的连续介质模型应用于有限元模拟中，他们以多种方式模拟了一个简单的板在颗粒介质中移动。这个模拟是为了模仿别人所做的实际实验。他们发现，颗粒的流动和对平板的作用力都与其他人在实验中观察到的一致。

然后，该团队模拟了更复杂的物体，如圆形和钻石，在沙子中移动，首先使用他们的连续介质模型，然后使用他们之前的平板模拟作为RFT输入。两个模拟产生了几乎相同的结果，并预测了移动两个物体所需的相同力值。当研究人员将模拟推向三维物体模型时，连续介质模型和RFT都再次得到了相同的答案。

卡姆林说:“这个协议非常好。“事实证明，由于库仑连续介质模型中一个有趣的性质，RFT恰好非常有效。”

避免棘手的情况

有趣的是，这种简化在预测通过流体施加在物体上的力方面做得不太好。当Kamrin和Askari为一个物体——在这个例子中，一个简单的花园锄头——建模时，粘性流动方程中的力与来自不同小板块的力之和本质上是不相容的。当材料模型切换到颗粒模型时，总力与小的独立板力之和完全匹配。

“在某种意义上，这是一个试金石，”卡姆林说。最后，在一类代表性问题上证明了颗粒连续介质模型与阻力理论的完美吻合。

为了看看RFT是否可以在除颗粒外的任何其他材料中做出准确的预测，研究人员“查阅了具有建模方程的材料Rolodex”，并使用类似的测试发现，RFT确实也适用于某些粘性材料，如糊状物、凝胶和泥浆。

Kamrin说，现在科学家们可以依靠RFT来帮助解决许多与牵引力相关的问题。但是，这个方程也能帮助人们摆脱流沙吗?

卡姆林说:“这么说吧:不管怎样，你都需要做一些工作，弄清楚如何把自己从流沙中挤出来。”“但在适当的情况下，RFT将工作量分成了很大一部分。你不用再解微分方程了。只要给我几张图表、一张纸和一支笔，我就能计算出摆脱困境的方法。”

麻省理工学院

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-由克里斯·瓦夫拉编辑，制作编辑，控制工程， CFE传媒，cvavra@cfemedia.com．查看更多控制工程能源和电力故事．

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