数学模型有助于过程控制gydF4y2Ba

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在最简单的形式中，数学模型只不过是一个方程，它将一个变量的值与另一个变量的值联系起来。模型用于用可量化的术语描述过程的行为。爱因斯坦著名的方程E=mc2模拟了物质转化为能量的过程。它用光速(c)来描述湮灭一个给定质量(m)的物体所产生的能量(E)。gydF4y2Ba

更复杂的模型涉及更多的变量和更精细的数学关系，但所有模型都可以分解为四个基本组成部分:gydF4y2Ba输入变量，输出变量，常数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba运营商gydF4y2Ba。输出变量是模型设计用来从已知输入值推断出的未知量。在爱因斯坦的方程中，E是输出，m是输入，因为物体的质量可以在湮灭之前测量，以预测将产生的能量。gydF4y2Ba

在爱因斯坦方程中c的值是一个常数。它的值总是等于真空中的光速。常数通常代表物理、化学、经济学等的基本原理，这些原理支配着过程的行为。例如，一个机械过程的模型可能包括摩擦系数(gydF4y2Ba

模型中的运算符定义了从输入和常量计算输出值所需的数学操作。它们可以像爱因斯坦方程中出现的乘法和平方函数那样简单，也可以像拉普拉斯变换和统计分布那样复杂。gydF4y2Ba

图1 -这个弹簧木马的总质量为gydF4y2Ba
M千克，质心在轴心上方h米。的gydF4y2Ba
骑手坐姿θ弧度距离运动的垂直位置gydF4y2Ba
过程是由背后的推动开始的。常数ggydF4y2Ba
表示重力加速度，k是角弹簧gydF4y2Ba
弹簧常数。gydF4y2Ba

另一个例子gydF4y2Ba

考虑图1中描述的机械过程。它由一个经常在操场上发现的弹簧木马组成。孩子骑马时，往往是前后蹒跚，一开始还需要从后面推一把。gydF4y2Ba

由于重力作用在骑手身上的向前力与弹簧的挠度相反。如果马、骑手和弹簧合在一起形成一个质量为m公斤的物体，质心距枢轴点h米，则整个装置的运动可以用角位置测量θ来描述，如图2所示。gydF4y2Ba

除了最简单的过程之外，这个模型是对现实的近似。它假设没有其他的力，如风或摩擦力影响过程的运动，并且弹簧施加的阻力与角度位置θ完全成正比。它还假设过程从一个完全垂直的位置开始移动(即，θ的值最初为零)。gydF4y2Ba

在θ保持足够小，大致等于sinθ的情况下，进一步的简化通常应用于方程[1]。gydF4y2Ba

将θ代入sinθ得到式[2]变成gydF4y2Ba线性gydF4y2Ba因为θ与θ0作图得到了一条斜率为-(k - mg)/mh的直线。gydF4y2Ba

然而，方程[2]的真正目的是生成θvs的图。从而预测未来运动过程的时间。对于像[2]这样的线性方程来说，这是一个相当简单的问题。实际上，对于θ(t)，式[2]可以显式求解，如图2所示。gydF4y2Ba

由于非线性正弦算子的存在，方程[1]的类似闭式解会复杂得多。过程控制工程师有时会不遗余力地创建线性过程模型，而不是非线性过程模型，只是为了简化问题的数学计算。gydF4y2Ba

图2 -角加速度变量gydF4y2Ba
这是第二次gydF4y2Ba
θ的导数,gydF4y2BatgydF4y2Ba是这个过程开始的时间，gydF4y2Ba
θ ' 0是初始推力传递的原始角速度，gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba
后续振荡的振幅是多少gydF4y2Ba
是gydF4y2Ba
这些振荡的频率。的值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
是常数gydF4y2Ba
这取决于gydF4y2BakgydF4y2Ba，gydF4y2Ba米gydF4y2Ba，gydF4y2BaggydF4y2Ba，gydF4y2BahgydF4y2Ba， θ′0如式[4]、[5]所示。gydF4y2Ba

限制gydF4y2Ba

不幸的是，即使是简化的方程[2]对于控制输出变量θ(t)来说也不是一个特别有用的模型。它不包括控制器可以操纵的输入变量，从而为骑手产生新的位置或速度。gydF4y2Ba

即使这个过程及其模型可以修改为包括一个控制机构(例如，通过将整个装置安装在液压驱动平台上)，该模型仍然有其局限性。只有当诱导振荡足够小，使得θ′≈sin θ时，它才会起作用。否则，过程将开始按照公式[1]而不是公式[2]运行。gydF4y2Ba

当输入变量从低值到高值再返回时，大多数实际过程的行为都是不同的。流程模型必须考虑到这些更改，否则依赖于模型来选择正确控制操作的控制器将无法获得预期的结果。gydF4y2Ba

式[2]也不能描述过程的实际运动gydF4y2Ba初始条件gydF4y2Ba被错误地识别。在这个模型中，唯一的初始条件是θ 'gydF4y2Ba_0gydF4y2Ba表示时间t=0时过程的角速度。式[5]显示了θ '的值gydF4y2Ba_0gydF4y2Ba确定过程后续振荡的振幅a。由于第一次推力产生的初始速度越大，每次振荡过程的摆动就越远。gydF4y2Ba

但是，如果该值测量错误，则模型预测的振荡将与过程的实际运动不匹配。同样，如果过程从θ(0)=0以外的初始位置开始移动，则模型的输出将是不正确的。在过程控制依赖于模型预测和过程实际行为之间的良好匹配的应用中，控制工程师通常会尝试在所有初始条件设置为零的情况下启动过程，以避免初始条件错误。gydF4y2Ba

应用模型gydF4y2Ba

为流程创建准确的模型只是成功的一半。对于控制工程师来说，真正的挑战是设计一个能够充分利用模型的能力来预测过程对控制努力的响应的控制器。gydF4y2Ba

蛮力方法是试错法。控制器猜测下一个控制动作应该是什么，将其应用于模型，看看它是否会产生期望的输出，并不断尝试，直到猜对为止。由于这种搜索可以在计算机时间内完成，因此控制器实际上可以在应用其最终选择之前尝试数千种可能的控制努力。gydF4y2Ba

另一方面，严格的试错法效率极低。更聪明的方法是根据前一次尝试的结果来选择每个猜测，从而迭代地磨练正确的选择。模型的线性对使用这种技术的控制器特别有帮助。如果初始猜测产生的输出比要求的大X%，控制器可以尝试将下一次猜测减少X%，因为线性过程对输入的变化的响应是成比例的。gydF4y2Ba

一种更简单的方法是使用像方程[2]这样的模型，它可以用数学方法求解和反转。然后，将期望的输出值输入到反向模型中并直接计算实现该输出值所需的控制努力就变成了一件简单的事情。不幸的是，这种显而易见的技术可能会产生数值上不稳定的结果，原因并不明显。gydF4y2Ba

隐式技术gydF4y2Ba

以上就是全部gydF4y2Ba显式的gydF4y2Ba将过程模型合并到控制器操作中的方法。gydF4y2Ba隐式的gydF4y2Ba仅将模型用于控制器设计的技术更为常见。gydF4y2Ba

例如，PID调谐规则将模型常数转换为控制器比例、积分和导数参数的合适值(参见“齐格勒-尼科尔斯方法促进回路调谐”)。gydF4y2Ba控制工程gydF4y2Ba， 1998年8月，第112页，和“过程控制器调整指南”在线gydF4y2Bawww.globalelove.comgydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

对于一个敏感过程，如果模型显示对控制器的努力高度敏感，则大多数调谐规则将为其分配保守的调谐参数。相反，缓慢的进程需要更积极的调优参数。控制器从不使用模型直接计算任何东西，但是模型预测过程如何响应控制努力的能力最终隐式地结合到控制器的调优中。gydF4y2Ba

传统上在控制工程101中教授的更复杂的控制器设计技术-超前/滞后，极点放置，定点跟踪等-也隐含地使用过程模型来识别过程的行为。然而，这些技术不是将模型的常量插入到一组固定的调优规则中，而是使用模型的动态特性来生成满足某些闭环性能标准的控制器。gydF4y2Ba

其他应用程序gydF4y2Ba

过程模型不仅对控制器设计问题有用。它们可以用来创造gydF4y2Ba虚拟传感器gydF4y2Ba测量一组变量，然后用数学方法推导出另一组变量的值。它们也可以用来gydF4y2Ba模拟gydF4y2Ba在调试一个被提议的控制器之前测试它时进程的行为。gydF4y2Ba

也许过程模型最有利可图的应用(至少在化学和石化工业中)是约束管理。gydF4y2Ba约束gydF4y2Ba是决定过程变量的最大允许值的物理限制，如储罐的容量、反应器的温度限制、管道的最大流量等。gydF4y2Ba

当化学过程在其物理极限内尽可能努力地进行时，通常会产生最大的利润。控制器的工作是将过程变量保持在高利润范围内，而不允许它们违反各自的约束。gydF4y2Ba

过程的精确模型允许控制器提前确定过程变量的走向，并采取先发制人的行动来防止即将发生的约束违反。如果没有过程模型提供的预见，控制器将不得不保持过程变量远离它们的约束(并且在一个不太有利可图的范围内)，以保持安全边际。gydF4y2Ba

过程gydF4y2Ba优化gydF4y2Ba原理差不多。当一个过程的不同元素争夺资源(如电力、蒸汽或原材料)时，整个过程的模型可以演示以不同组合分配资源的经济效果。控制器可以提前确定哪种配给策略是最有利可图的，并开始实施它，而不必浪费时间和资源去猜测。gydF4y2Ba

另一种选择gydF4y2Ba

最近在过程控制领域的一项创新完全避免了模型。这个想法是，模型是人工构建的，并不真正需要解释过程中产生的测量。(见gydF4y2Ba欧洲控制工程gydF4y2Ba， 2001年2月/ 3月，“无模型自适应控制”，第25页。，亦在gydF4y2Bawww.globalelove.comgydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

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流程模型的应用gydF4y2Ba

过程控制:使用过程的模型来预测其控制努力的效果，控制器可以确定如何最好地操纵过程。gydF4y2Ba

控制器设计:可以通过分析过程模型的结构来设计控制器以适应过程的动态行为。gydF4y2Ba

虚拟传感器:过程模型可用于从可测量变量中估计不可测量变量的值。gydF4y2Ba

仿真:在将所提出的控制器应用于实际过程之前，可以在虚拟工厂中测试其性能。gydF4y2Ba

约束管理:通过使用流程模型来预见和预防约束违反，可以更接近流程变量上的约束来操作流程。gydF4y2Ba

流程优化:通过使用流程模型预测各种配给策略的经济效益，可以确定最有利的资源分配。gydF4y2Ba

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