频域分析解释
预测过程的未来行为是分析反馈控制系统的关键。知道受控过程将如何对控制器的努力作出反应，允许控制器选择将过程变量推向设定值所需的行动过程。线性过程是特别可预测的，因为同时应用两种控制努力的组合…
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预测过程的未来行为是分析反馈控制系统的关键。知道受控过程将如何对控制器的努力作出反应，允许控制器选择将过程变量推向设定值所需的行动过程。
线性过程是特别可预测的，因为同时应用于过程的两种控制努力的组合将产生一个过程变量，该变量等于分别应用这两种控制努力的结果之和。线性过程也证明了一个常数，稳态增益也就是说，如果B是当控制工作为零时B是过程变量的值，则当控制工作固定在X的值时，过程变量最终将在Y = Kx + B的值下沉降。This relationship yields a straight line when Y is plotted against X (hence the expression ‘linear process’).
线性过程也以可预测的方式对非恒定输入作出反应。最重要的是，正弦输入总是产生正弦输出。事实上，如果控制器的输入恰好是频率为v的正弦波，那么过程输出的过程变量也是频率相同的正弦波。虽然现实生活中的控制器很少产生纯正弦控制效果，但这种现象是基础频域分析一个过程的行为。
线性过程示例
通过“简单的线性过程”图形中显示的孩子的玩具可以说明频域分析的简单示例。该线性工艺包括从手柄安装的弹簧悬挂的重量。通过向上和向下移动手柄，儿童控制重量的位置。
任何玩过这种玩具的人都知道，如果手柄以或多或少的正弦方式移动，重物就会开始以同样的速度振荡，尽管与手柄不同步。只有在弹簧不拉伸的相对较低的频率下，手柄和重物才会同步移动。
在较高且较高的频率下，重量将开始振荡超过手柄但进一步延迟并进一步延迟。当固有频率在这个过程中，重量的振荡将达到它们的最大高度。固有频率是由重物的质量和弹簧的刚度决定的。
| 一个玩具由一个重量附加在一个手柄弹簧可以说明频域分析。如果手柄以或多或少的正弦方式移动，重物将以相同的速率振荡，尽管与手柄不同步。 |
在固有频率之上振幅体重的振荡将减少及其阶段将增长更负面（即，振荡将变得更小，更小，落后滞后）。在非常高的频率下，重量将仅略微移动，恰好在手柄的相反方向上。
波德图
所有的线性过程都表现出类似的行为。它们将正弦输入转换为具有相同频率但不同振幅和相位的正弦输出。振幅和相位的变化取决于获得和阶段滞后的过程。增益是在从输入到输出的过程中放大正弦波的因素，相位滞后是正弦波被延迟的程度。
| 波德图显示频率为每秒弧度的正弦波经过线性过程时，振幅会改变K(v)，相位会损失F (v)度。K(v)和v一般用对数标度表示。波德图在不同的过程中形状不同，但K(v)总是在v趋于零时接近稳态增益。对于非常高的频率，K(v)通常趋向于零。波德图可以通过在不同频率上使用正弦控制来实践这个过程，或者通过分析这个过程的物理特性，例如实例过程中的弹簧刚度和重量，来经验地推导出来。 |
与稳态增益K不同，该过程的增益和相位滞后随传入正弦波的频率而变化。重力-弹簧过程对低频正弦波的振幅变化不大。据说它有一个低频增益的一个。在固有频率附近，增益大于1，因为输出的振幅大于输入的振幅。的高频增益该过程几乎是零，因为当玩具迅速摇动时重量根本勉强振荡。
这一过程的相位滞后是一个附加因素。在这个例子中，它从接近零的低频输入开始，因为当手柄移动非常缓慢时，重量和手柄同步振荡。当手柄和重物向相反方向移动时，相位滞后会下降到-180度(因此“相位180度反”这个短语用来描述任何完全相反的情况)。
“Bode Plot”图形显示了每秒0.01和100弧度的所有频率的重量和弹簧工艺的完整频谱和相位滞后。这是一个例子波德图是20世纪40年代贝尔实验室开发的由Hendrick Bode开发的图形分析工具。它可用于确定输出的输出的幅度和相位，当过程由具有特定频率的正弦输入驱动时导致的。为了获得输出幅度，只需将输入幅度乘以该频率所示的增益。要获取输出阶段，请将阶段滞后添加到输入阶段。
傅里叶定理
过程的BODE图中所示的增益和相滞后是其定义特性。他们讲述了一位经验丰富的控制工程师，他需要了解该过程的行为以及如何在未来响应的过程中，而不仅仅是正弦控制努力任何控制努力。
这样的分析是可能的傅里叶定理，表示任何连续的测量序列或信号可以表达为无限的正弦波。Mathematician Joseph Fourier在1822年证明了他着名的定理，并产生了一种称为算法傅里叶变换用于从原始信号的测量值中计算和中每个正弦信号的频率、幅值和相位。
| 一艘v振荡的频率和振幅的一个跷跷板振荡3 v的频率和振幅/ 3,和一个孩子的玩具振荡的频率/ 5的5 v和一个振幅会每生成一个正弦波如果他们的动作被绘制在不同的趋势图表。 |
从理论上讲，傅里叶变换和凸形图可以一起使用，以预测线性过程如何对所提出的控制努力序列进行反应。就是这样：
1)用傅里叶变换从数学上将提出的控制努力分解为其理论正弦波分量或频谱．
2)使用波德图来确定每一个正弦波是如何被修改的，如果它自己经过这个过程。也就是说，根据每个正弦波的频率应用适当的振幅和相位变化。
3）使用逆傅里叶变换将修改的正弦波重新结交为一个信号。
| 玩具、跷跷板和船的组合运动产生一个周期(反频率)为1/v的方波，振幅略低于a。 |
由于逆傅立叶变换基本上是添加操作，因此该过程的线性度将保证在步骤1中计算的理论正弦波的组合效果将与它们保持在一起相同。因此，在步骤3中计算的组合信号将表示将导致所提出的控制工作输入到该过程的过程变量。
注意，在这个过程中，控制器没有产生任何单独的正弦波，也没有绘制在纸上。所有这些频域分析技术都是概念性的。翻译信号是一个数学上的方便问题时间域到频域与傅里叶变换(或与之密切相关)拉普拉斯变换)，利用波德图和其他频域分析工具解决手边的问题，然后将结果转换回时域。
大多数可以以这种方式解决的控制设计问题也可以通过时域的直接操纵来解决，但是在频域中的计算通常更容易。在上面的示例中，给定乘法和减法的问题，以指定过程变量的频率频谱给出所提出的控制工作的傅立叶变换和过程的BODE图。
把正确的正弦波组合加起来，就会产生傅里叶假设的具有理想形状的信号，这一点并不完全明显。举个例子可能会有帮助。
再想想孩子的弹簧/重量玩具，游乐场的跷跷板，以及公海上的船。假设这艘船在波浪上升和下降发生在一个正弦方式的种频率和振幅a也假设跷跷板振荡在三次,频率和振幅,而三分之一的孩子跳的玩具5倍频率和振幅的五分之一。“三个独立的正弦波”图形显示了如果分别观察这三个正弦波运动会是什么样子。
现在假设孩子坐在跷跷板的一端，而跷跷板又固定在船的甲板上。如果三个独立的正弦波恰好排列正确，玩具的整体运动将近似于一个方波，如“三个组合的正弦波”图所示。
这不是一个实际的例子，但它确实证明了一个正弦波的和加上它的三分之一第三次谐波加上它的五分之一第五次谐波近似一个频率为v，振幅略低于a的方波。当七次谐波的七分之一加上九次谐波的九分之一时，近似会变得更好。事实上，傅里叶定理表明，如果这样的求和是连续的广告Infinitum.，总和将与振幅为a的方波相匹配确切地．傅里叶的定理也可以用于将非周期性信号分解为无限的正弦波之和。
