波德图解决频域问题

每个竖直握过弹簧的孩子都知道，拉动弹簧的上端会导致弹簧的下端开始弹跳，而反复的拉动会使弹簧持续振荡。有些人可能会注意到，尽管两端总是以相同的频率振荡，但底部在某些频率上比在其他频率上反弹得更高。真正有天赋的孩子甚至可能会注意到，随着频率的增加，底部与顶部的振荡不同步，并且越来越落后。

工程师们知道，储能元件的许多机械、电气和化学过程都是这样运作的。输入端的阶跃变化引起输出端的衰减振荡。另一方面，正弦输入引起的正弦输出的振幅和滞后时间取决于振荡的频率。并非巧合的是，这两个现象是相关的，并形成了频域技术的基础，这些技术是分析反馈控制器的基础。

两种计算方法
基本上有两种方法来分析过程在频域的行为。直接的方法是用一系列的正弦输入来驱动它，每一个输入都有相同的振幅但不同的频率。在每一种情况下，正弦输出的振幅和滞后时间可以根据频率绘制出过程的波德图。图中的样本波德图显示了弹簧的底端会反弹多高，以及当弹簧的上端被设定为不同频率振荡时，弹簧的上端会滞后多少。

第二种频域分析方法利用傅里叶定理间接计算过程的波德图。傅里叶定理表明，任何本身不是正弦波的信号都可以表示为正弦波的和。例如，当几个高振幅、低频正弦波加入到一个更大的低振幅、高频正弦波集合中时，就会产生一个阶跃输入。傅里叶定理还给出了计算每个正弦波分量的振幅及其相对于最低频率分量的滞后时间的公式。请注意，绘制每个分量的振幅和滞后时间与其频率的关系，就会得到信号的波德图，就像整个过程的波德图一样。

事实上，过程的波德图可以从其输入和输出信号的波德图推导出来。只需将输出波德图中的每个振幅除以输入波德图中相应的振幅。由此得到的商是该频率下过程波德图的振幅。要得到过程的波德图的滞后时间，只需从相应的输出滞后时间中减去每个输入滞后时间。

相反地，将任意输入信号的幅值与过程的幅值相乘就会得到输出的幅值当这个输入实际作用于这个过程时。输出的滞后时间是通过将输入的滞后时间加到过程的滞后时间来计算的。有了这个数学“把戏”，控制工程师就可以用已知的波德图来预测控制器的动作对任何过程的影响。

咨询编辑Vance J. VanDoren，博士，p.e.， VanDoren Industries, West Lafayette, Ind。